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Programación y Método Numérico

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Método de Newton Raphson

Por: Mariale1 | Publicado: 21/06/2010 18:27 | | #Cont:8

Newton Raphson

 

El método de Newton (conocido también como el método de Newton Raphson o el método de Newton-Fourier) Es un método de optimización iterativo, es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

 

La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

Supóngase f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

 

Xn+1 = Xn -  ( f ( Xn) / f ´ ( Xn) )

                   

Donde f ' denota la derivada de f.

 

Estimación del Error

 

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia quadrática: si α es raíz, entonces:

 

E = ( Xk+1- Xk) / (Xk+1)

 

Todo esto, en valor absoluto; se para el proceso iterativo cuando este error relativo aproximadamente es menor que una cantidad fijada previamente

 

Así pues,

 

X1 = X0 - ( f (X0) / f ´ (X0) )

 

 

X2 = X1 - ( f (X1) / f ´ (X1) )

 

 

X3 = X2 - ( f (X2) / f ´ (X2) )

 

Hasta encontrar el valor de las raíces que cumplen con la condición prefijada para el valor relativo
 
Resolver el siguiente ejercicio:
 
Dada la ecuación de Vander Walls para un gas real:
 

(P + a/V2) (V-b) = R . T

para los siguientes gases, el volumen molar a una temperatura de 80ºC para las presiones de 10, 20, 30, 100 atm y las constantes particulares para cada gas son:

Gas
a
b
Co2
3,599
0,04267
Dimetilamina
37,49
0,19700
He
0,03412
0,02370
Oxido Nitrico
1,34
0,02789

donde:
P= atm
R=0,082 atm.L/molK
T=353
Vo=2,896
Hasta que el error sea menor que 1%
Lo primero que deben hacer, es simplificar la ecuación ppara posteriormente proceder a derivarla:
Ecuación simplificada:
F(v) = PV3 - (b.P + R.T)V2 + a.V - a.b 
Ecuación derivada:
F'(v) = 3PV2 - 2(b.P + R.T)V + a
Cabe destacar, que los números que acompañan los términos son exponentes, no pude colocarlos como tales, motivado a que la herramienta que estoy utilizando no me lo permitió. Cualquier duda aclararla en clase.

 

Comentarios
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Buenas tardes profesora esta es mi asistencia de la semana.

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PROF AQUI LE DEJO MI ASISTENCIA PARA LAS CLASES ASISTIDAS
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