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Sistema de Ecuaciones

Por: Mariale1 | Publicado: 17/05/2010 17:40 | | #Cont:20

Sistema de ecuaciones

 

Se refiere a un conjunto de ecuaciones que deben ser resueltas de forma simultnea, esto implica entonces, encontrar el valor de cada una de las incgnitas.

 

As pues existen métodos, que permiten encontrar todas las soluciones a dichas incgnitas, se explican los ms utilizados:

 

Ejemplo: Consideremos el sistema

 

y = x2

y= 2x + 3

Las grficas de las ecuaciones son una parbola y una recta.

Realizando una grfica, es fcil ver que los puntos (-1; 1) y (3; 9) son soluciones del sistema (Ejercicio para el lector). Sin embargo, deseamos tener una estrategia algebraica que permita encontrar las soluciones. Una de ellas es llamada el Método de sustitucin.

Bsicamente, el método de sustitucin consiste en los siguientes pasos:

1. Despejar una variable de una de las ecuaciones en términos de otra.

2. Sustituir en la otra ecuacin la expresin encontrada en el paso anterior a fin de obtener una ecuacin slo en una variable.

3. Encontrar las soluciones de la ecuacion en una variable obtenida en el paso anterior.

4. Reemplazar los valores encontrados en el paso anterior en la ecuacin del paso 1, para hallar los valores en la otra variable.

5. Comprobar cada par (x; y) encontrado en el paso 4, en el sistema dado.
 

Por ejemplo, si consideramos las ecuaciones

y = x2  y y = 2x+3 del ejemplo en la introduccin, podemos

sustituir x2 por y en y = 2x+3 obteniendo:

x2 = 2x + 3

(x + 1)(x - 3) = 0;

de donde se obtienen las soluciones:

x = -1 y x = 3.

Esto da los valores x de las soluciones (x; y) del sistema. A fin de hallar los valores y correspondientes, podemos usar   y = x2  y = 2x + 3.

Con y = x2, resulta:

Si x = 1 , entonces y = (-1)2 = 1

Si x = 3 , entonces y = 32 = 9:

Por lo tanto, las soluciones del sistema son (-1; 1) y (3; 9).

Sistemas de ecuaciones lineales

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones en lineales y no lineales. De un punto de vista algebraico, se estudian preferentemente los sistemas lineales.

En esta seccin estudiaremos aquellos lineales con slo dos variables.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Para hallar las soluciones de un sistema lineal podemos usar también el método de eliminacin que consiste en manipular las ecuaciones hasta obtener un sistema equivalente de ecuaciones ms sencillas, para las cuales podemos hallar sus soluciones con facilidad. Algunas manipulaciones (o transformaciones) que llevan a sistemas equivalentes son las siguientes:

1. Intercambiar dos ecuaciones.

2. Multiplicar o dividir una ecuacin por una constante diferente de cero.

3. Sumar un mltiplo constantede una ecuacin a otra ecuacin.

Se obtiene un mltiplo constantede una ecuacin al multiplicar cada término de la ecuacin por la misma constante k distinta de cero.

Ejemplo:

Resolvamos el sistema:

x + 3y = -1

2x - y = 5

A menudo multiplicamos una de las ecuaciones por una constante que nos da el inverso aditivo del coeficiente de una de las variables en la otra expresin.

Esto permite sumar ambas ecuaciones y obtener una tercera con una sola variable, como sigue:

Multiplicamos por 3 la segunda ecuacin, obteniendo

x + 3y = -1

6x - 3y = 15

Sumamos la primera ecuacin a la segunda y se obtiene:

x + 3y = -1

7x = 14

 

Del ltimo sistema vemos que 7x = 14  x = 2. Para hallar el correspondiente valor de y, sustituimos x con 2 en

x + 3y = -1, con lo cual y = -1.

 

En consecuencia, (2;-1) es la nica solucin del sistema.

En general, el método de eliminacin suele conducir a soluciones con menos pasos que el método de sustitucin analizado en la seccin anterior.

Hay tres tipos de situaciones posibles al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables:

 

  • Hay exactamente una solucin
  • Hay un nmero infinito de soluciones o
  • No existe solucin.

Grficamente, la primera situacin, llamado también sistema consistente, corresponde a dos rectas que se intersectan.

La segunda situacin, llamado sistema dependiente y consistente, corresponde a dos ecuaciones que representan la misma recta; por ejemplo, el sistema:

3x + y = 6

6x + 2y = 12

es dependiente y consistente.

La tercera situacin, llamado sistema inconsistente, corresponde a dos rectas paralelas. Por ejemplo, el sistema

3x + y = 6

6x + 2y = 20

no tiene solucin o es inconsistente.

Para sistemas de ecuaciones lineales con ms de dos variables, podemos usar el método de sustitucin o el método de eliminacin.

 

El método de eliminacin es la técnica ms breve y fcil para hallar soluciones. Adems lleva a la técnica de matrices que se estudia en la siguiente seccin.

 

Ejercicios:

 

1. Use el método de sustitucin para resolver el sistema.

a)  y = x2 + 1

     x + y = 3

b)  y2 = x

     x + 2y + 3 = 0

2. Resuelva el sistema

a)  4x + 5y = 13

     3x + y = -4

b)  7x - 8y = 9

     4x + 3y = -10

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Ruthmary Gallardo (no registrado)
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Buenas Noches, aqui le dejo mi asistencia de esta semana.
Seccion: I-002D
Ing Petroleo
Ruthmary Gallardo
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gusmari bracho c.i:19567791 seccion:i-002D ing-petroleo (no registrado)
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hola profesora aqui le dejo mi asistencia de la semana....
rosa soto c.i:19524715 seccion:i-002 ing-petroleo (no registrado)
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buenis dias profe aqui le dejo mi asistencia.
wendy toro c.i:19480745 seccion:i-002 ing-petroleo (no registrado)
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holaaaaaa profesora eata es mi asistencia de la semana.
jhoan jose balza CI: 17986901 Seccion I 002 D petroleo (no registrado)
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buenas tardes profesora aqui le dejo mi asistencia de la semana que pase buenas tardes
Dailis herrera CI.19052798 de ingenieria de petroleo i-002 (no registrado)
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BUENAS NOCHES PROFE.. ESPERO QUE SE ENCUENTRE MUY BIEN ESTA ES MI ASISTENCIA..
Dailis herrera CI.19052798 de ingenieria de petroleo i-002 (no registrado)
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danilo luna (no registrado)
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BUENAS TARDE PROFESORA AQUI MI ASISTENCIA
002 PETROLEO V SEMESTRE
yrausquin gerardo (no registrado)
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buenas tarde profesora aqui le dejo mi asistencia con respecto a la asignacion,ya yo la saque al respecto
soy el bachiller yrausquin gerardo seccion002 de ingenieria de petroleo.C.I.7049833
yrausquin gerardo (no registrado)
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